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Les théorèmes de Ramis-Morales et de Ziglin et leurs applications

Le : 16/01/2009 14h00
Par : Alexei TSYGVINTSEV (ENS Lyon)
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Résumé : Les problèmes de mécanique (le problème des trois corps, l'équation de Rattleback, etc) conduisent à des exemples non triviaux de systèmes fuchsiens. La question suivante apparaît souvent dans l'étude de leur intégrabilité. On se donne une équation différentielle linéaire d'ordre supérieur à deux qui contient des paramètres et dont toutes les singularités sont régulières. On considère le groupe de monodromie (groupe de Galois différentiel) G associé. Comment détecter des valeurs des paramètres pour lesquelles G possède un invariant rationnel ou polynomial ? En général, ce problème n'est pas algorithmiquement résoluble. Néanmoins, dans les problèmes mécaniques, normalement très riches de symétries, cette question peut être abordée. L'idée est de "coupler" plusieurs groupes de monodromie locaux à l'aide des relations entre les éléments du groupe fondamental de la surface de Riemann de l'équation. On utilise les relations non-triviales entre les générateurs de G provenant des symétries discrètes de l'équation elle-même. Références [1] On the analytic non-integrability of the Rattleback problem, (avec H. Dullin), Annales de la faculté des sciences de Toulouse, 3, 2008, XVII [2] On some exceptional cases in the integrability of the three-body problem, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 99, No. 1, 237-247, 2007 [3] The meromorphic non-integrability of the three-body problem, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik de Gruyter (Crelle's journal), N 537, 2001, 127-149