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STABILITÉ GÉNÉRIQUE DES SYSTÈMES HAMILTONIENS QUASI INTÉGRABLES

Le : 03/02/2009 14h15
Par : Laurent NIEDERMAN (Universite Paris-Sud)
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Résumé : Les systèmes hamiltoniens intégrables par quadrature (le problème de Kepler par exemple) sont exceptionnels. En revanche, beaucoup de problèmes importants peuvent être modélisés par des systèmes hamiltoniens proches d'un système intégrable. Il s'agit ici de dégager des hypothèses très faibles sur la géométrie du système intégrable qui permettent de montrer des résultats de stabilité pour les solutions du système perturbé. Il y a deux types de théorèmes : i) Des résultats de stabilité en temps infinis obtenus avec la théorie de Kolmogorov-Arnold-Moser qui sont valables sur un ensemble de Cantor de grande mesure mais qui ne donnent aucune information sur les autres trajectoires. ii) Des résultats de stabilité sur des ensembles ouverts mais seulement sur un temps exponentiellement long par rapport à la taille de la perturbation. Cette deuxième propriété a été établie en 1977 par N.N. Nekhoroshev [1] grâce à des méthodes perturbatives classiques avec constructions de formes normales et sommation de séries divergentes. Ce résultat est valable si le hamiltonien non perturbé (intégrable) est escarpé, c'est-à-dire, s'il vérifie certaines conditions de transversalité qui sont génériquement satisfaites par les fonctions C-infinies sur R^n. Presque tout les travaux sur la stabilité exponentielle concernent les perturbations d'un hamiltonien intégrable convexe et l'étude du cas escarpé n'a pas été reprise depuis la démonstration originale de Nekhoroshev malgré la densité de cette classe de fonctions et différents exemples issus de la physique où le hamiltonien considéré est escarpé mais pas convexe. Nous donnons une formulation géométrique simple de la condition d'escarpement dans le cas d'une fonction réelle analytique obtenue à l'aide de théorèmes de géométrie sous-analytique réelle. D'autre part, nous donnons des conditions de non-dégénérescence sur le hamiltonien intégrable non perturbé qui sont plus faibles que l'escarpement mais suffisantes pour obtenir un théorème de stabilité en temps exponentiellement long. Ce raffinement permet d'exhiber un ensemble générique de hamiltoniens intégrables avec des estimations de stabilité uniformes. Nous utilisons pour cela une version quantitative du théorème de Sard due à Yomdin.