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Mesure et capacité d'ensembles errants pour les perturbations de systèmes intégrables

Le : 06/02/2009 14h15
Par : Jean-Pierre MARCO (IMCCE et Université P. & M. Curie -- Paris)
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Résumé : Un système intégrable en coordonnées action-angle est un hamiltonien h : R^n ---> R ne dépendant que des variables d'action. Le problème fondamental de la dynamique perturbative est de décrire le comportement des orbites des systèmes de la forme h(r)+f(θ,r), où f est une fonction de l'anneau A^n=T^n x R^n dans R, qui est petite dans une classe fonctionnelle adaptée. Un ensemble E ⊂ A^n est dit errant pour un difféomorphisme φ de l'anneau A^n lorsque φ^k(E)∩ E est vide pour tout entier k ≠ 0. Il est facile de montrer que si E est un ensemble errant pour le difféomorphisme au temps 1 engendré par un hamiltonien intégrable sous forme action-angle, alors E est de mesure de Lebesgue nulle. Le problème est de déterminer des bornes supérieures et inférieures pour la mesure de Lebesgue et la capacité de Gromov d'un borélien errant pour une perturbation h(r)+f(θ,r). Nous donnerons dans cet exposé des bornes supérieures, qui se déduisent de la théorie de la stabilité en temps exponentiel de Nekhoroshev, et nous construirons des perturbations en classe Gevrey ou analytique montrant que ces bornes supérieures sont presque optimales.