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Sur une version relative du théorème de Fischer-Grauert

Le : 24/11/2010 10h30
Par : Laurent MEERSSEMAN (Université de Bourgogne)
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Résumé : Le théorème de Fischer-Grauert (1965) affirme qu'une submersion holomorphe $\pi : \Cal X --> Y$ à fibres compactes et connexes entre variétés complexes est un fibré holomorphe localement trivial si et seulement si toutes les fibres sont biholomorphes. Appelons famille de variétés complexes une telle submersion. On peut reformuler ce théorème en disant qu'une famille $\pi : \Cal X --> Y$ ponctuellement isomorphe à la famille triviale X_0 x Y --> Y lui est localement isomorphe. Cette reformulation ouvre la voie à une version relative du théorème, à savoir : si deux familles paramétrées par la même base sont ponctuellement isomorphes, sous quelle(s) condition(s) sont-elles localement isomorphes? Après avoir rappelé les résultats positifs et négatifs sur cette question, je donnerai une condition suffisante pour obtenir une réponse affirmative. La preuve utilise la théorie des déformations de Kodaira-Spencer et en particulier une description géométrique de l'espace de Kuranishi d'une variété compacte complexe. Je discuterai enfin le cas des familles différentiables de variétés.