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Quelques propriétés du degré relatif

Le : 06/02/2018 16h45
Par : Vincent Grandjean (Universidade Federal do Ceara, Fortaleza)
Lieu : I 001
Lien web :
Résumé : Soit un semi-algébrique S non compact d'un espace euclidien E. Un objet d'étude d'interêt est l'algèbre des polynômes bornés sur S. La restriction d'un polynôme f à S au voisinage de l'infini est controlée par une puissance de la distance à l'origine. L'infimum des telles puissances, appelé degré de f relatif à S, est rationnel au plus égal au degré de f. Lorsque E est le plan réel et S est connexe à l'infini et de dimension 2, d'après Kurdyka , Michalska et Spodzieja, le degré s'obtient à l'aide des exposants de Puiseux des demi-branches à l'infini du bord de S. Ils obtiennent aussi que le degré relatif des polynômes de degré (total) au plus d (donné), peut être testé le long d'un nombre fini de demi-branches à l'infini. Le travail presenté ici est en collaboration avec Maria Michalska. Rappelant comment obtenir "explicitement" le degré relatif lorsque S est connexe à l'infini et de dimension maximal, je voudrais présenter deux résultats: 1- Pour un degré (total) d fixé, il suffit de tester le degré relatif le long d'un nombre fini de demi-branches à l'infini. 2- Considérant une famille d'ensembles semi-algébriques, le degré relatif depend a priori des paramètres. Lorsque la famille est obtenue par déformation (linéaire en chaque paramètre) d'un ensemble semi-algébrique basique, on montrera qu'en dehors d'un semi-algébrique de codimension positive de l'espace des paramètres, la fonction degré relatif est localement indépendante des paramètres.