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Quasi-stationnarité en dynamique des populations

Le : 28/01/2008 11h00
Par : Amaury Lambert (Laboratoire d'Écologie et Évolution -Université Pierre et Marie Curie and École Normale Supérieure - Paris)
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Résumé : Soit Z un processus de Markov à valeurs positives, absorbé en 0 avec probabilité 1 (extinction). Une distribution quasi-stationnaire (DQS) est une probabilité µ telle que, si Z a comme distribution initiale µ, alors en tout temps t, la loi de Zt conditionné à être non nul, est égale à µ. Une DQS particulière est, si elle existe, la distribution asymptotique de Zt conditionné à être non nul, lorsque t tend vers l’infini. On lui donne ordinairement le nom de limite de Yaglom. Un autre objet limite d’intérêt est la loi limite du processus lui-même, conditionellement à l’extinction distante. Le processus ainsi obtenu est appelé habituellement Q-processus (ou processus conditionné à ne jamais s’éteindre). Dans cet exposé, nous nous intéresserons à deux classes de processus de Markov, venant de la dynamique des populations. Le premier est un CB-processus, c’est-à-dire un processus de branchement à espace d’états continu, obtenu comme limite de processus de Bienaymé-Galton-Watson renormalisés. Le second type de processus est une diffusion de Feller généralisée, c’est-à-dire une diffusion Z satisfaisant dZt=( Zt)dBt+h(Zt)dt, et qui est obtenue comme limite de processus de naissance et de mort renormalisés. Quand h est linéaire, on retrouve la diffusion de Feller, c’est-à-dire un CB-processus à trajectoires continues p.s., et quand h est quadratique, on obtient la diffusion de Feller à croissance logistique [1]. Nous nous placerons dans le cas où ces processus s’éteignent avec probabilité 1, et nous nous intéressons alors à la quasi-stationnarité de ces processus. Pour les CB-processus, nous obtenons un ensemble de DQS indicé par un intervalle compact, ainsi qu’un Q-processus dans le cas sous-critique [2]. Pour les diffusions de Feller généralisées, nous montrons l’existence d’une limite de Yaglom ainsi que d’un Q-processus, sous des hypothèses techniques supplémentaires. Mais plus particulièrement, nous montrons que cette DQS est unique ssi le processus descend de l’infini, c’est-à-dire admet une loi d’entrée en l’infini, ce qui revient plus ou moins à supposer que 1/h est intégrable en l’infini [3]. [1] Lambert, A. (2005) The branching process with logistic growth. Ann. Appl. Prob. 15 1506�1535. [2] Lambert, A. (2007) Quasi�stationary distributions and the continuous�state branching process conditioned to be never extinct. Elec. J Prob. 12 420-446. [3] Cattiaux, P., Collet, P., Lambert, A., Martinez, S., Méléard, S., San Martin, J. (2007) Quasi�stationary distributions and diffusion models in population dynamics. Preprint arXiv:math/0703781v2