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Tests de structure en régression sur variable fonctionnelle.

Le : 12/01/2009 11h00
Par : L. DELSOL (Université de Louvain)
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Résumé : De très nombreux problèmes concrets font intervenir des phénomènes de nature fonctionnelle (courbes de croissance, courbes de température, cours d’une action, électrocardiogramme, courbes spectrométriques, enregistrements sonores, images, ...). Grâce aux récents progrès concernant les appareils de mesure ainsi que l’utilisation de moyens informatiques performants on peut maintenant collecter, stocker et traiter des données discrétisés sur des grilles assez fines qui reflètent la nature fonctionnelle des phénomènes étudiés. C’est pourquoi la branche de la statistique concernant l’ étude de ce genre de données reçoit un intérêt croissant tant sur le plan théorique que pratique (voir par exemple Ramsay et Silverman, 1997, 2002, 2005, Bosq, 2000, et Ferraty et Vieu, 2006). Nous considérons dans cet exposé l’étude d’un modèle de régression de la forme Y = r(X) + e dans lequel on cherche à expliquer comment une variable d’intérêt réelle Y dépend d’une variable fonctionnelle (i.e. à valeurs dans un espace de dimension infinie) X. Différentes méthodes d’estimation ont été proposées pour des modèles de ce type suivant les hypothèses que l’on fait sur le structure de l’opérateur de régression r (linéarité: Ramsay et Dalzell, 1991, Cardot et al., 1999, Hall et Horowitz, 2008, Crambes et al., 2008 ; modèle à indice simple : Ait Sa ï di 2008 ; ...). Toutefois, il n’existait pas de résultat théorique permettant de tester si ces hypothèses structurelles sont vérifiées ou non. Dans le cas plus général ou l’on fait seulement des hypothèses sur la régularité de r, l’estimation se fait généralement ` l’aide d’estimateurs à noyaux fonctionnels (voir Ferraty et Vieu, 2006). L’objectif de cet exposé est de présenter une méthode générale pour construire des tests de structure. L’idée est d’adapter la méthodologie introduite par Hardle.