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L'aspect métrique de la géométrie non-commutative: l'exemple du plan de Moyal

Le : 02/04/2013 16h15
Par : Pierre Martinetti (Università di Napoli Federico II)
Lieu : I 001
Lien web :
Résumé : On prendra prétexte de résultats récents sur le plan de Moyal pour étudier l'aspect métrique de la géométrie non-commutative. On commencera par rappeler comment la formule de la distance de Connes, associée à un triplet spectral, peut-être vue comme une généralisation non-commutative de la distance de Monge-Kantorovich d'ordre 1 en théorie du transport optimal. Puis on présentera plusieurs résultats de calcul explicite de cette distance entre diverses classes d'états de l'algèbre de Moyal (cette dernière étant une déformation non-commutative par une forme symplectique de l'algèbre des fonctions Schwartz sur le plan): - la distance entre un état quelconque et son translaté, - la distance entre états propres de l'hamiltonien de l'oscillateur harmonique quantique. On montrera que la topologie induite par la distance de Connes sur l'espace des états n'est pas la topologie *faible, et on en tirera les conséquences quant à la théorie des espaces métriques quantiques de Rieffel. On comparera également la distance dans le plan de Moyal à la valeur moyenne de l'opérateur de longueur dans le modèle d'espace quantique de Doplicher-Fredenhagen et Roberts. Pour ce faire, on introduira un "doublement"du plan de Moyal (i.e. son produit par le triplet spectral canonique de C2). On verra que la distance dans cette espace doublé satisfait au théorème de Pythagore. On indiquera comment ce résultat se généralise en terme d'inégalités de Pythagore pour le produit de triplets spectraux unitaux arbitraires (on exhibera un contre-exemplaire non-unitaire inspiré par la K-homologie).