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Cohomologie de degré 1 des algèbres de Lie-Rinehart

Le : 13/12/2016 14h00
Par : Friedrich Wagemann (Nantes)
Lieu : I 001
Lien web :
Résumé : Ceci est un travail en commun avec Bas Janssens (Utrecht). La cohomologie continue des algèbres de Lie de champs de vecteurs sur une variété différentiable est bien étudiée. Pour étudier aussi la cohomologie des algèbres de Lie de champs de vecteurs réguliers sur une variété algébrique, il faut d'autres méthodes que la cohomologie de Gelfand-Fuchs. Dans un papier de 2004, Serge Skryabin définit une catégorie de modules pour des anneaux de Lie W de dérivations d'un anneau R et calcule la cohomologie de degré 1 à valeurs dans un tel module. Skryabin en déduit la cohomologie de degré 2 à coefficients triviaux. Les outils principaux de son travail sont les propriétés de cette catégorie de modules et l'algèbre commutative, comme par exemple le Lemme de Nakayama. Les seules hypothèses sont que W est projectif comme R-module, que 2 et 3 sont inversibles et que les différentielles de Kähler sont engendrés par R. La méthode est de montrer qu'un 1-cocycle est un opérateur différentiel d'un ordre plus petit ou égal à 3, puis d'en déduire une filtration du complexe de cohomologie. Le travail de Skryabin est fascinant par son degré de généralité et par l'interaction des méthodes d'algèbre commutative et théorie des représentations. Dans notre travail avec Janssens, nous transposons les méthodes de Skryabin aux algèbres de Lie-Rinehart, analogues algébriques des algébroïdes de Lie. Pour le moment, nous arrivons à montrer sous une condition de non-évanescence de l'ancre que tout 1-cocycle est un opérateur différentiel d'ordre au plus 3. C'est le point de départ pour décrire toute la cohomologie de degré 1.