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Equations de Painlevé, courbe spectrale et récurrence topologique

Le : 17/12/2015 14h00
Par : Olivier Marchal (Saint-Etienne)
Lieu : I 001
Lien web :
Résumé : Soit $\hbar\partial_x \Psi=D(x)\Psi un système différentiel de dimension 2 où $D(x)$ est une fonction rationnelle en $x$. Il a été montré récemment par Bergère et Eynard que l’on peut exprimer des fonctions de corrélations $W_n(x_1,\dots,x_n)$ à partir de ce système en utilisant des formules déterminantales adaptées. Par ailleurs en supposant que le système obéit à une propriété supplémentaire dite « topologique », ils ont montré que le développement formel en \hbar des $W_n$ pouvait être reconstruit par la récurrence topologique appliquée à la courbe spectrale $\det(yI_2-D_0(x,t))=0$ du système différentiel. Dans cet exposé je montrerai que l’on peut prouver cette propriété pour les paires de Lax issues des équations de Painlevé. En particulier la présence d’une seconde équation $\partial_t\Psi =R(x,t)\Psi$ joue un rôle crucial dans la preuve.