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Quantification par déformation pour les surfaces de Klein et les algèbres d’invariants symplectiques

Le : 30/03/2011 16h00
Par : Frédéric BUTIN (candidat au poste de MCF) (Université de Lyon-I)
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Résumé : La quantification par déformation d’une algèbre de Poisson A peut être vue comme la construction d’une algèbre associative filtrée B = S1 n=0 Bn, telle que Gr(B) = A, et vérifiant certaines conditions. C’est une des raisons qui incitent à comparer la cohomologie de Poisson de l’algèbre de Poisson A et la cohomologie de Hochschild de sa déformation B. Dans cet esprit, je m’intéresserai d’abord aux surfaces de Klein. Après avoir rappelé leur construction, je calculerai leur homologie et leur cohomologie de Hochschild, via l’utilisation du complexe de Koszul et des bases de Gröbner. Je considérerai ensuite une algèbre de Lie semi-simple g de dimension finie, h une sous-algèbre de Cartan de g, W son groupe de Weyl, et V := h  h. J’étudierai l’homologie de Poisson en degré 0 de l’algèbre d’invariants symplectiques C[V ]W. Cela m’amènera à donner des résultats généraux sur HP0(C[V ]W) dans le cas des algèbres de Lie de type Bn 􀀀 Cn or Dn. Résultats qui vont dans le sens de la conjecture d’Alev, selon laquelle l’égalité dim HP0(C[V ]G) = dim HH0(An(C)G) est vraie dans les deux cas : . V = h  h0, h étant une sous-algèbre de Cartan d’une algèbre de Lie semi-simple g de rang n 2 N, et G son groupe de Weyl. . V = (C2)n, G étant le produit en couronne G = 􀀀 ^ Sn = 􀀀noSn, et 􀀀 un sous-groupe fini de SL2C. Je calculerai enfin complètement HP0(C[V ]W) pour les algèbres de lie de rang 3.