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Calcul de Schubert, théories cohomologiques orientées et lois de groupes formels

Le : 05/04/2013 14h00
Par : Baptiste Calmès (Université d'Artois)
Lieu : I 001
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Résumé : La compréhension de la structure de l'anneau de Chow des variétés de drapeaux est un problème classique de géométrie algébrique, appelé "calcul de Schubert". Dans les années 70, Demazure (et indépendamment Bernstein-Gelfand-Gelfand) a développé une approche purement algébrique à ce problème. Etant donné un groupe semi-simple déployé G et un tore maximal T, il a montré que l'anneau de Chow CH(G/T) est isomorphe à un anneau qui ne dépend que de la combinatoire du système de racines associé à G et T, et qui est construit à l'aide d'opérateurs différentiels désormais appelés "de Demazure" ou "BGG". Son approche et ses preuves fonctionnent également lorsqu'on remplace l'anneau de Chow par la K-théorie. Par contre, des résultats négatifs de Bressler-Evens ont contribué à répandre l'idée qu'une telle approche était vouée à l'échec pour des théories cohomologiques plus générales, appelées théories orientées, comme le cobordisme algébrique ou complexe. Ces théories orientées admettent une définition axiomatique, qui dit essentiellement qu'elles possèdent des classes caractéristiques, ou classes de Chern, pour les fibrés vectoriels, et les travaux de Quillen sur les groupes formels et le cobordisme complexe, puis plus récemment de Levine-Morel sur le cobordisme algébrique, ont révélé l'ingrédient essentiel des théories orientées: une loi de groupe formel est associée à chaque théorie orientée, et permet de calculer la première classe de Chern d'un produit tensoriel de fibrés en droites, à partir des premières classes de Chern de chacun d'eux. Dans cet exposé, j'expliquerai que l'approche de Demazure se généralise de manière uniforme à toutes les théories orientées, et qu'on peut ainsi reconstruire algébriquement la structure d'anneau d'une cohomologie orientée, en particulier du cobordisme, à partir d'un nouvel objet combinatoire, appelé "algèbre de groupe formel", qui ne dépend que de la loi de groupe formel et du système de racines. Dans ce cadre, j'expliquerai géométriquement pourquoi les "obstructions" soulevées par Bressler-Evens n'en sont pas vraiment, bien qu'elles obligent à abandonner un ingrédient essentiel des preuves de Demazure et qu'elles rendent la combinatoire du cas général beaucoup plus riche que celle de l'anneau de Chow ou de la K-théorie. Enfin, je montrerai que toute cette approche peut se relever à des calculs équivariants sous l'action du tore T, selon l'approche de Kostant et Kumar.