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Schémas de Hilbert invariants et résolutions des singularités quotients

Le : 08/03/2013 14h00
Par : Ronan Terpereau (Institut Fourier)
Lieu : I 001
Lien web :
Résumé : On considère G un groupe classique (SL(V), GL(V), O(V),...) et X la somme directe de p copies de la représentation standard de G et de q copies de sa représentation duale, où p et q sont des entiers positifs. On s'intéresse alors au schéma de Hilbert invariant, noté H, qui paramètre les sous-schémas fermés G-stables Z de X tels que k[Z] soit isomorphe à la représentation régulière de G. Dans cet exposé, nous verrons que H est une variété lisse lorsque la dimension de V est petite, mais que H est singulier en général. Lorsque H est lisse, le morphisme de Hilbert-Chow, H -> X//G, est une résolution canonique des singularités du quotient catégorique X//G (=Spec(k[X]^G)). Il est alors naturel de se demander quelles sont les bonnes propriétés géométriques de cette résolution (par exemple, est-elle crépante?). Si le temps le permet, on évoquera certains résultats analogues dans le cadre symplectique, c'est-à-dire en prenant p=q et en remplaçant X par la fibre en 0 de l'application moment. Les quotients obtenus sont alors isomorphes à des adhérences d'orbites nilpotentes et le morphisme de Hilbert-Chow permet d'en construire des résolutions (parfois symplectiques).