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Sur une conjecture de Silverman pour les endomorphismes du plan affine

Le : 24/11/2017 14h00
Par : Xie Junyi (Rennes)
Lieu : I 001
Lien web :
Résumé : Jonsson, Wulcan et moi travaillons sur une conjecture de Silverman pour les endomorphismes polynomiaux du plan affine. Soit f = (F,G) : A2 → A2 un endomorphisme polynomial défini sur Q. Notons deg(f) := max{degF,degG} le degré algébrique de f. Notons λ1(f) le degré dynamique de f c.-a`.-d. λ1(f) := limsupn→∞deg(fn)1/n et λ2(f) le degré topologique de f c.-a`.-d., le nombre de préimages d’un point générique. Pour tous les points p ∈A2(Q), notons Of(p) := {fn(p)| n ≥ 0} l’orbite de p. Pour tous les points p ∈ A2(Q), Silverman a défini le degré arithmétique de f comme la quantité αf(p) := limsup n→∞ h(fn(p))1/n où h est la hauteur naïve de A2(Q). Il a également montré que αf(p) ≤ λ1(f) pour tout p ∈ A2(Q). Dans notre cas, la conjecture de Silverman devient la suivante Conjecture 0.1. f : A2 Q → A2 Q un endomorphisme polynomial dominant défini sur Q. Alors (i) l’ensemble {αf(p)| p ∈A2(Q)} est un ensemble fini d’entiers algébriques; (ii) si p ∈ A2(Q) est un point dont l’orbite Of(p) est Zariski dense dans A2, alors on a αf(p) = λ1(f). Avec Jonsson et Wulcan, nous avons prouvé la conjecture 0.1 dans le cas où λ2 ≤ λ1. En outre, nous avons prouvé que la conjecture de Vojta implique la conjecture 0.1.