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Revêtements hyperelliptiques d-osculateurs et solitons elliptiques de la hiérarchie KdV (séminaire commun avec séminaire de physique mathématique)

Le : 04/02/2011 15h30
Par : Armando TREIBICH (Université de Lens)
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Résumé : Soit (X, q) une courbe elliptique marquée en son origine et définie sur un corps algébriquement clos K, de caractéristique p = 2. On considère les revêtements finis séparables : ( ,p) (X, q), où ( ,p) est une courbe hyperelliptique, marquée en un point de Weierstrass lisse. Au moyen de l'application d'Abel on plonge la partie lisse de dans Jac , la jacobienne (généralisée) de , et on définit un homomorphisme (X, q) (Jac ,0), obtenant des copies de X et , s'intersectant à l'origine 0 Jac . On dit alors que : ( ,p) (X, q) est un revêtement hyperelliptique d-osculateur, si d est l'ordre d'osculation de X par rapport à en 0 Jac . En caractéristique 0 elles donnent toutes les courbes spectrales associées aux solutions de la hiérarchie KdV, doublement périodiques par rapport à la d-ième variable. On étudie les relations entre n, g et d : le degré de , le genre arithmétique de et l'ordre d'osculation respectif. On obtient, quel que soit p = 2, la relation (2g + 1)2 8(2d - 1)(n - 1) + 9, ainsi que 2g + 1 p(2d - 1), si p > 2. D'autre part, pour tout n, d N* nous construisons des familles (d - 1)-dimensionnelles de telles revêtements. Ce problème se ramène à étudier les courbes de self-intersection négative dans une surface rationnelle anticanonique particulière. Références (p = 0) C.R. Acad. Sci. Paris, Série I, t. 345 (2007) 213-218.