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A choisir parmi « Exposants de Lyapunov : Qui sont-ils ? À quoi servent-ils ? » et « Les géométries réelles de dimension 3 »

Le : 27/03/2017 14h00
Par : Axel Rogue (université de Rennes 1)
Lieu : I 001
Lien web :
Résumé : Selon le choix du public, l’exposé sera: 1) Les exposants de Lyapunov, qui apparaissent en 1892 dans la thèse de Alexandre Lyapunov, sont un outil pour caractériser la stabilité des systèmes dynamiques. Dans le cas de la dynamique des orbites obtenues par itération d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle $f$ de $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ il a fallu attendre quelques décennies avant que le point de vue ergodique permette une meilleure compréhension des phénomènes rencontrés. L'idée fondamentale est d'utiliser une mesure $f$-invariante pour étudier ce qu'il se produit en moyenne lorsque le cas par cas est trop difficile à appréhender. Cela permet notamment de définir les exposants de Lyapunov, qui s'apparentent à des valeurs propres asymptotiques de la suite $D_x f^n$. Le but de l'exposé sera de présenter quelques endroits naturels où ces fameux exposants de Lyapunov apparaissent ainsi que les premiers résultats de la théorie ergodique et leur application à la dynamique holomorphe. 2) On entend souvent parler de "géométrie euclidienne" ou encore de "géométrie sphérique". Mais qu'appelle t'on réellement une géométrie ? Et combien y'en a-t-il ? Après avoir défini ce qu'est une géométrie, on verra ensemble les grands classiques que sont les géométries de dimension 1 et 2 et je vous présenterai les 8 géométries de dimension 3 établies par Thurston dans les années 70. Avec un peu de chance, je vous expliquerai comment reconnaitre la géométrie d'une 3-variété fermée compacte en regardant son groupe fondamental. Avec beaucoup de chance, je mentionnerai la conjecture de géométrisation de Thurston prouvée par Perelman en 2003.