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Groupes de Lie-Poisson et la théorie différentielle de Galois

Le : 18/03/2016 15h30
Par : Michel Semenov-Tian-Shansky (Université de Bourgogne)
Lieu : I 001
Lien web :
Résumé : La célèbre équation KdV fait partie d'une famille d'équations non-linéaires dites "du type KdV" qui sont liées à l'équation KdV par un jeu de substitutions différentielles. L'opérateur de Lax associé à l'équation KdV est l'opérateur de Schrödinger sur la droite. Le groupe différentiel de Galois de l'équation de Schrödinger agit naturellement sur les solutions des équations du type KdV. L'aspect non-trivial de cette action est lié avec le comportement de crochets de Poisson. Tous les équations du type KdV sont en effet hamiltoniennes pour un certain choix de crochets de Poisson. Il s'avère que ces crochets ne sont pas invariants par rapport à l'action du groupe de Galois qui est lui aussi porteur d'une structure de Poisson non-triviale. Ce phénomène peut être tracé aussi dans le cadre plus général des équations de courbure nulle et de leurs analogues associés aux opérateurs aux différences finies.