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Une classe de polynômes extrémaux et la combinatoire des arbres pondérés

Le : 23/01/2015 15h30
Par : Alexandre Zvonkine (LaBRI, Université de Bordeaux)
Lieu : I 001
Lien web :
Résumé : En 1965, Birch, Chowla, Hall et Schinzel, motivés par certains problèmes de la théorie des nombres, ont posé la question suivante. Soient A et B deux polynômes complexes ; quel peut être le degré minimum de la différence A^3 - B^2 (si cette différence n'est pas nulle) ? Les auteurs ont avancé deux conjectures, la première concernant la borne inférieure pour ce degré, et la deuxième affirmant que cette borne ne peut pas être améliorée. La première conjecture a été démontrée la même année 1965 par Davenport ; la deuxième s'est avérée plus difficile et n'a été démontrée que 16 ans plus tard, en 1981, par Stothers. En 1995, Zannier a considéré un problème beaucoup plus général, concernant le degré minimum de la différence de deux polynômes ayant des multiplicités prescrites de leurs racines. Il a à la fois établi la borne inférieure et démontré que cette borne n'est pas améliorable. En 2010, Beukers et Stewart ont considéré le cas de la différence A^p - B^q mais se sont intéressés par des polynômes à coefficients rationnels. Dans notre travail en commun avec Fedor Pakovich (Université de Beer Sheva, Israël), en utilisant la théorie des dessins d'enfants, nous avons établi une correspondance entre les pairs des polynômes en question et des arbres plans bicoloriés dont les arêtes sont munis de poids entiers positifs. Si, pour un assortiment de degrés donné des sommets noirs et blancs un arbre correspondant est unique, alors les polynômes sont à coefficients rationnels. Nous avons donné une classification complète des arbres de cette sorte et calculé les polynômes correspondants. D'autres invariants de Galois sont aussi proposés. En particulier, dans notre travail en commun avec Nicolay Adrianov (Université de Moscou) nous avons donné une classification complète des groupes de monodromie primitifs des arbres pondérés.