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Les nombres PI et exp(PI) : irrationalité, transcendance, approximation diophantienne.

Le : 07/03/2008 15h00
Par : Michel WALDSCHMIDT (Institut de Mathématiques de Jussieu --- Théorie des Nombres)
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Résumé : L'irrationalité du nombre pi a été démontrée par H. Lambert en 1761, en utilisant des fractions continues. Sa transcendance a été obtenue en 1882, grâce à la méthode de C. Hermite et aux approximants de Padé, par F. Lindemann qui résolvait ainsi le problème de la quadrature du cercle. La transcendance du nombre exp(pi) a été démontrée par A.O. Gel'fond en 1929, grâce à des séries d'interpolation ; cette question faisait partie de l'énoncé du septième problème de Hilbert qui a été complètement résolu par A.O. Gel'fond et Th. Schneider en 1934 par une méthode de transcendance utilisant des idées de C.L. Siegel. Que pi ne soit pas un nombre de Liouville est un résultat de K. Mahler de 1953. Son énoncé a été raffiné par plusieurs mathématiciens ; la meilleure estimation actuellement connue est $$ |\pi-\frac{p}{q} |>\frac{1}{q^{8,0161}}\cdotp $$ (M. Hata, 1993). On ne sait pas démontrer que exp(pi) n'est pas un nombre de Liouville. En 1976, G.V. Chudnovskii a démontré que les nombres pi et Gamma(1/4) sont algébriquement indépendants. Sa démonstration utilisait les fonctions elliptiques. Son énoncé a été étendu en 1996 à l'indépendance algébrique des trois nombres pi, exp(pi) et Gamma(1/4) par Yu. V. Nesterenko à l'aide des fonctions modulaires. Mais on ne sait toujours pas démontrer, par exemple, que e et pi sont algébriquement indépendants. Les chiffres de pi en base 2, en base 10 ou en toute autre base supérieure à 2 restent toujours aussi mystérieux : on en connait des milliards, mais comme leur suite ne semble obéir à aucune loi, ils sont tout juste bons à fournir des tables de nombres au hasard. De même, le développement en fraction continue de pi semble imprévisible.