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De Bieberbach à Schramm : une aventure du 20ème siècle.

Le : 02/04/2010 14h00
Par : Michel ZINSMEISTER (Université d'Orléans)
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Résumé : Soit f(z)=a_0+a_1z+a_2z2+.. une fonction holomorphe et injective dans le disque unite du plan. Alors clairement a_1 eq 0 et Bieberbach a montre en 1916 que \vert a_2\vert \leq 2\vert a_1\vert; il a en meme temps conjecture que \vert a_n\vert\leq n\vert a_1\vert pour tout n\geq 2. Lowner a prouve la conjecture pour n=3 en 1923 par une méthode remarquablement élégante qui dépasse le cadre de cette seule conjecture. D'ailleurs la méthode de Lowner reste un argument central dans la preuve complète de la conjecture de Bieberbach par De Branges en 1984. Dans un contexte tout a fait différent (mécanique statistique), Schramm a remis à l'ordre du jour l'équation différentielle de Lowner en 1999 en y introduisant du hasard pour inventer les processus SLE. Après un bref historique, nous revisiterons la conjecture de Bieberbach dans le cadre des processus SLE.